Gleichungssysteme – Modul 2: Lösungsverfahren für LGS (2x2)
Lehrkräfte-Hinweis zum Einsatz
Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.
MathematikKlasse 9Lineare Gleichungssysteme
- Einsatz: als Lernpfad, Übungsmodul, Wiederholung oder vorbereitete Unterrichtssequenz.
- Anpassung: Abschnitte, Aufgaben und Lösungen können direkt im Quellcode ergänzt oder gekürzt werden.
- Assets: Bildplatzhalter bewusst durch eigenes Material, GeoGebra-Screenshots oder lizenzrechtlich passende Abbildungen ersetzen.
Differenzierte Hilfen
Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.
Hilfe A – Einstieg
Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Gleichungssysteme – Modul 2: Lösungsverfahren für LGS (2x2) geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.
Hilfe B – Vorgehen
Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.
Hilfe C – Vertiefung
Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.
Schritt-für-Schritt-Vorgehen / Erwartungshorizont
Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.
- Aufgabe lesen und gesuchte Größe/Fragestellung notieren.
- Geeignete Darstellungsform, Formel oder Verfahren auswählen.
- Rechnung mit nachvollziehbaren Zwischenschritten durchführen.
- Ergebnis prüfen: Vorzeichen, Einheit, Plausibilität und Bezug zur Aufgabe.
- Antwortsatz oder kurze Deutung formulieren.
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Arbeitsauftrag: Du lernst in diesem Modul, wie du lineare Gleichungssysteme (LGS) mit zwei Variablen mit den Verfahren Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren und Subtraktionsverfahren löst. Außerdem lernst du den Gauß-Algorithmus ohne Matrizen (nur mit Gleichungen) kennen. Bearbeite die Abschnitte der Reihe nach. Plane insgesamt ca. 270-300 Minuten inkl. Nacharbeit & Feedback ein (3 Doppelstunden). Das Feedback sollst du mir dieses Mal zum Ende jeder Schulwoche per Schulportal-Nachricht zusenden. Hast du eine Nachfrage, kannst du mich entweder über das Schulportal erreichen oder per Mail. Willst du mir Fotos deiner Bearbeitung schicken, kannst du das per Mail tun. Wenn du konkrete Nachfragen zu einer Aufgabe/Rechnung hast, sende mir gerne ein Screenshot/Foto von der Aufgabe per Mail.
Inhalte
- Zeichnerisches Lösungsverfahren
- Was ist das Additionsverfahren?
- Was ist das Subtraktionsverfahren?
- Was ist das Einsetzungsverfahren?
- Was ist das Gleichsetzungsverfahren?
- Gauß-Algorithmus (2 Variablen, ohne Matrizen)
- Additionsverfahren – Beispiel
- Subtraktionsverfahren – Beispiel
- Einsetzungsverfahren – Beispiel
- Gleichsetzungsverfahren – Beispiel
- Übungen + KI-Aufgabe (nur 2 Variablen)
- Weiterlesen & Quellen
- Lösungs-Modul
- Feedbackmodul
Disclaimer: In diesem Modul kommen freiwillige KI-Aufgaben vor. Wenn du KI nicht nutzen möchtest oder darfst, überspringe sie. Kläre das ggf. vorab und beachte Datenschutz/AGB.
Zeichnerisches Lösungsverfahren
Beim zeichnerischen Lösen bringst du beide Gleichungen in die Funktionsform \(y = m x + b\). Dann zeichnest du die zwei Geraden und liest den Schnittpunkt ab.
- Steigung \(m\): Wie stark steigt/fällt die Gerade.
- y-Achsenabschnitt \(b\): Wo schneidet die Gerade die y-Achse.
- Lösung: Der Schnittpunkt \((x,y)\) erfüllt beide Gleichungen.
- Parallel (gleiche \(m\), verschiedene \(b\)) ⇒ keine Lösung.
- Identisch (gleiche \(m\) und gleiches \(b\)) ⇒ unendlich viele Lösungen.
Einfaches Beispiel
Gegeben sei
\[ \begin{cases} x + y = 5\\ y = 2x - 1 \end{cases} \]- Forme \(x+y=5\) nach \(y\) um: \(y = 5 - x\).
- Zeichne \(y=5-x\) (Steigung \(-1\), Abschnitt \(5\)) und \(y=2x-1\) (Steigung \(2\), Abschnitt \(-1\)).
- Der Schnittpunkt ist \((2,3)\). Probe: \(2+3=5\) und \(2\cdot2-1=3\) ✓
„Erstelle 8 kurze 2×2-LGS in Funktionsform \(y=mx+b\) (unterschiedliche Steigungen/Abschnitte). Ich sage dir für jedes System, ob sich die Geraden schneiden, parallel oder identisch sind – und welcher Lösungstyp folgt (0/1/∞). Gib mir nach jeder Antwort eine kurze Begründung.“
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Was ist das Additionsverfahren?
Ziel: eine Variable eliminieren (wegmachen). Dazu machst du die Koeffizienten vor einer Variablen gegengleich (z. B. \(+a\) und \(-a\)) und addierst die Gleichungen.
- Normalform herstellen: \(a x + b y = c\).
- Koeffizienten so skalieren, dass sie bei einer Variable gegengleich sind.
- Addieren ⇒ Variable fällt weg.
- Die andere Variable berechnen und zurück einsetzen.
- Probe in beide Ursprungsgleichungen.
Beispiel 1 (ohne Skalieren)
Hier sind \(y\)-Koeffizienten schon gegengleich.
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \quad (G1)\\ 2x - y = 1 \quad (G2) \end{cases} \]Addiere \(G1+G2\):
\[ \begin{cases} (3x+y) + (2x-y) = 10 + 1 \\ \Rightarrow 5x = 11 \end{cases} \;\Rightarrow\; x = \frac{11}{5} \]Rückeinsetzen in \(G2\):
\[ \begin{cases} 2x - y = 1\\ 2\cdot \frac{11}{5} - y = 1 \Rightarrow \frac{22}{5} - y = 1 \Rightarrow y = \frac{17}{5} \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{\left(x,y\right)=\left(\tfrac{11}{5},\,\tfrac{17}{5}\right)}\).
Beispiel 2 (mit Skalieren, mehrere Schritte)
\[ \begin{cases} 2x + 5y = 16 \quad (G1)\\ 3x - y = 7 \quad (G2) \end{cases} \]Schritt 1: mache \(y\)-Koeffizienten gegengleich, skaliere \(G2\) mit \(5\).
\[ \begin{cases} 2x + 5y = 16 \quad (G1)\\ 15x - 5y = 35 \quad (5\cdot G2) \end{cases} \]Schritt 2: addiere \(G1 + (5\cdot G2)\).
\[ \begin{cases} 17x + 0y = 51\\ \Rightarrow x = 3 \end{cases} \]Schritt 3: Rückeinsetzen in \(G2\).
\[ \begin{cases} 3x - y = 7\\ 3\cdot 3 - y = 7 \Rightarrow y = 2 \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{(x,y)=(3,2)}\)
„Gib mir nacheinander 10 2×2-LGS in Normalform. Ich nenne dir jeweils, welche Variable ich eliminieren will. Antworte mir nur mit dem passenden Multiplikationsfaktor für jede Gleichung und der addierten Zeile (ohne vollständige Lösung).“
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Was ist das Subtraktionsverfahren?
Wie beim Addieren machst du passende Koeffizienten – dann subtrahierst du die Gleichungen, damit eine Variable eliminiert wird. Rechnerisch ist das Addieren mit einem negativen Faktor.
Beispiel (beide Gleichungen skalieren)
\[ \begin{cases} 4x + 6y = 8 \quad (G1)\\ 5x + 9y = 11 \quad (G2) \end{cases} \]Schritt 1: gleiche \(y\)-Koeffizienten herstellen (\(18\)).
\[ \begin{cases} 12x + 18y = 24 \quad (3\cdot G1)\\ 10x + 18y = 22 \quad (2\cdot G2) \end{cases} \]Schritt 2: subtrahiere: \((3\cdot G1)-(2\cdot G2)\).
\[ \begin{cases} (12x+18y)-(10x+18y) = 24-22\\ 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \end{cases} \]Schritt 3: Rückeinsetzen (z. B. in \(G1\)).
\[ \begin{cases} 4x + 6y = 8\\ 4\cdot 1 + 6y = 8 \Rightarrow 6y = 4 \Rightarrow y = \tfrac{2}{3} \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{(x,y)=(1,\,\tfrac{2}{3})}\)
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Was ist das Einsetzungsverfahren?
Du löst eine Gleichung nach einer Variablen (z. B. \(x\)) auf und setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein. So entsteht eine Gleichung mit nur einer Variablen.
- Leichte Gleichung wählen und nach \(x\) oder \(y\) auflösen.
- Einsetzen in die andere Gleichung und lösen.
- Zurück einsetzen und Probe.
Beispiel A (sofort umstellbar)
\[ \begin{cases} x + y = 4 \quad (G1)\\ 2x - y = 5 \quad (G2) \end{cases} \]G1 nach \(x\): \(x = 4 - y\). In \(G2\) einsetzen:
\[ \begin{cases} 2(4-y) - y = 5\\ 8 - 3y = 5 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow x = 3 \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{(x,y)=(3,1)}\)
Beispiel B (erst Normalform, dann einsetzen)
\[ \begin{cases} y = 2x - 7 \quad (G1)\\ 3x + y = 5 \quad (G2) \end{cases} \]Setze \(y\) aus \(G1\) in \(G2\):
\[ \begin{cases} 3x + (2x-7) = 5\\ 5x - 7 = 5 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \tfrac{12}{5}\\ y = 2\cdot \tfrac{12}{5} - 7 = -\tfrac{11}{5} \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{\left(x,y\right)=\left(\tfrac{12}{5},\, -\tfrac{11}{5}\right)}\)
„Gib mir nacheinander 8 2×2-LGS, bei denen sich jeweils eine Gleichung besonders leicht nach \(x\) oder \(y\) umstellen lässt (z. B. \(x=\ldots\)). Ich entscheide, welche Variable ich nehme, und rechne den Einsetzungs-Schritt. Prüfe kurz.“
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Was ist das Gleichsetzungsverfahren?
Du stellst beide Gleichungen nach derselben Variablen um (z. B. jeweils \(y = \ldots\)) und setzt die Terme gleich. So bekommst du eine Gleichung mit einer Variablen.
Beispiel
\[ \begin{cases} 2x + y = 11 \quad (G1)\\ x - y = 1 \quad (G2) \end{cases} \]Beide nach \(y\) umstellen:
\[ \begin{cases} y = 11 - 2x \quad (G1')\\ y = x - 1 \quad (G2') \end{cases} \]Gleichsetzen der rechten Seiten:
\[ \begin{cases} 11 - 2x = x - 1\\ 3x = 12 \Rightarrow x = 4\\ y = x - 1 = 3 \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{(x,y)=(4,3)}\)
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Gauß-Algorithmus (2 Variablen, ohne Matrix-Schreibweise)
Der Gauß-Algorithmus ist ein systematisches Eliminationsverfahren. Er erlaubt drei Zeilenoperationen (alles Äquivalenzumformungen): (1) Gleichungen vertauschen, (2) eine Gleichung mit einer Zahl \(\neq 0\) multiplizieren, (3) ein Vielfaches addieren/subtrahieren. Ziel ist eine Stufenform:
\[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1\\ 0 \cdot x + b_2 y = c_2 \end{cases} \]Dann löst du Zeile 2 nach \(y\) und setzt in Zeile 1 zurück.
Beispiel (mehrere Zeilenoperationen)
\[ \begin{cases} 3x + 4y = 18 \quad (G1)\\ 5x - y = 7 \quad (G2) \end{cases} \]Schritt 1: Skaliere, damit sich \(x\) eliminiert.
\[ \begin{cases} 15x + 20y = 90 \quad (5\cdot G1)\\ 15x - 3y = 21 \quad (3\cdot G2) \end{cases} \]Schritt 2: Eliminiere \(x\): \( (5\cdot G1) - (3\cdot G2)\).
\[ \begin{cases} 23y = 69\\ \Rightarrow y = 3 \end{cases} \]Schritt 3: Rückeinsetzen in \(G1\):
\[ \begin{cases} 3x + 4\cdot 3 = 18 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \end{cases} \]Ergebnis: \(\boxed{(x,y)=(2,3)}\)
Sonderfälle erkennen
- Widerspruch (z. B. \(0x+0y=5\)) ⇒ keine Lösung.
- Zeile wird 0=0 ⇒ unendlich viele Lösungen (abhängig von einer freien Variablen).
Welches Verfahren passt?
- Einsetzen: Eine Gleichung lässt sich leicht nach \(x\) oder \(y\) lösen.
- Gleichsetzen: Beide Gleichungen schnell in \(y=\ldots\) (oder \(x=\ldots\)).
- Addieren/Subtrahieren: Durch Skalieren sind Koeffizienten rasch (gegen)gleich.
Immer: am Ende Probe (in beide Gleichungen einsetzen)!
Hier würde passend sein: Infobox.
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Additionsverfahren – Beispiel (mit mehreren Umformungen)
Idee: Eliminiere \(y\). Dafür mache ich die \(y\)-Koeffizienten gegengleich ( \(+5\) und \(-5\) ).
Das ist eine Äquivalenzumformung: Lösung bleibt gleich.
Durch das Addieren verschwindet \(y\) in \(G1'\) (Elimination).
Hier würde passend sein: Infobox.
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Subtraktionsverfahren – Beispiel (beide Gleichungen skalieren)
Idee: Eliminiere \(y\). Mache die \(y\)-Koeffizienten gleich (\(18\)).
Subtrahieren ist Addieren mit negativem Faktor – ebenfalls eine Äquivalenzumformung.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Einsetzungsverfahren – Beispiel (klarer Einsetzterm)
Einsetzen: Löse \(G1\) nach \(x\) auf.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Gleichsetzungsverfahren – Beispiel (beide nach \(y\))
Gleichsetzen: Stelle beide Gleichungen nach \(y\) um.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Gauß-Algorithmus – Beispiel (ohne Matrix, mehrere Zeilenoperationen)
Ziel: Stufenform erzeugen, die 2. Zeile soll nur \(y\) enthalten.
Übungen · nur 2 Variablen
- Add / Sub: \(\{\, 2x+3y=19,\; 4x-3y=5 \,\}\)
- Add / Sub: \(\{\, 5x+2y=4,\; 3x-2y=20 \,\}\)
- Einsetzen: \(\{\, y=2x-7,\; 3x+y=5 \,\}\)
- Gleichsetzen: \(\{\, 2x-y=1,\; 3x-2y=0 \,\}\)
- Gauß (ohne Matrix): \(\{\, 3x+6y=9,\; x-2y=1 \,\}\) – bringe die zweite Zeile unten zur „Stufenform“ und löse.
- Challenge: Erzeuge ein System mit keiner Lösung und eines mit unendlich vielen Lösungen (beide in Normalform). Begründe kurz.
„Gib mir nacheinander 12 kurze 2×2-LGS. Ich entscheide jeweils, welches Verfahren (Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren, Subtrahieren) ich nutze und begründe in 1–2 Sätzen. Prüfe meine Wahl und zeige den ersten Eliminations-/Umformungsschritt.“
Hier würde passend sein: Hinweis.
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Hier würde passend sein: Infobox.
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Lösungs-Modul (interaktiv)
Hier kannst du Musterlösungen einblenden. Nutze sie erst nach eigener Bearbeitung als Vergleich oder zur Selbstkontrolle.
Grafisch
Additionsverfahren
Subtraktionsverfahren
Einsetzen
Gleichsetzen
Übungen (Set)
Feedbackmodul
Beantworte die Fragen und sende deine Antworten im Schulportal mit dem Betreff:
„9G HNR Feedback E-Learning: LGS – Modul 2“.
- Freitext: Welche Kapitel hast du bearbeitet? (Grafisch, Addieren, Subtrahieren, Einsetzen, Gleichsetzen, Gauß, Beispiele, Übungen)
- Freitext: Formuliere zwei Merksätze: einen zum Eliminieren (Add/Sub), einen zum Umstellen (Ein-/Gleichsetzen).
- Multiple-Choice: Welche Hilfen hast du genutzt?
☐ Tafelbild/Heft ☐ Studyflix ☐ Übungsblatt (PDF) ☐ KI-Unterstützung ☐ anderes: _____ - Single-Choice: Wie schwierig war das Modul für dich insgesamt?
○ sehr einfach ○ einfach ○ mittel ○ schwierig ○ sehr schwierig - Skalafrage (1–5): Wie zufrieden bist du mit diesem Modul?
1 (sehr unzufrieden) … 5 (sehr zufrieden) - Ja/Nein: Hast du mindestens drei Übungen bearbeitet?
○ Ja ○ Nein - Likert + Zusatz:
„Ich kann jetzt 2×2-LGS mit verschiedenen Verfahren sicher lösen.“
1 … 5; falls unsicher: Wobei genau? ______________________ - Zeitangabe: Geschätzte Arbeitszeit: ______ Minuten
- Selbsteinschätzung (1–5): Wie sicher fühlst du dich jetzt?
1 (sehr unsicher) … 5 (sehr sicher) - Offene Frage: Was hat dir am meisten geholfen (Tool/Quelle/Strategie)?
- Offene Frage: Verbesserungsvorschläge?