• Verdopplung: Suche eine Schrittzahl \(n\) mit \(a^{n}\approx 2\). Beispiel: bei \(a=1{.}08\) ist \(1{.}08^{9}\approx1{.}999\), also ca. 9 Schritte.
• Halbierung: Finde \(n\) mit \(a^{n}\approx\tfrac{1}{2}\). Beispiel: bei \(a=0{.}88\) ist \(0{.}88^{7}\approx0{.}44\), also grob 7 Schritte.
• Exaktes Rechnen kommt in Kapitel 4 über \(\ln\).

1. Eine Bakterienkultur wächst pro Stunde um 8 %. Stelle ein Modell in a-Form auf und gib den Faktor \(a\) an.
2. Eine Substanz nimmt pro Stunde um 12 % ab. Stelle ein Modell \(y=y_0\cdot a^{t}\) auf und gib \(a\) an.
3. Ein Kapital wächst mit \(a=1{.}03\) pro Jahr. Gib den jährlichen Prozentzuwachs an und formuliere \(y=y_0\cdot a^{t}\).

1. Grenzwert-Definition: \[ e = \lim_{n\to\infty} \Bigl(1 + \tfrac{1}{n}\Bigr)^{n}. \]
In einfachen Worten (Grenzwert-Intuition): Stell dir 100 % Zinsen pro Jahr vor, aber das Jahr wird immer feiner in \(n\) gleich große Teile zerlegt und jedes Mal wird sofort wieder mitverzinst. Die Endfaktoren sind \(\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\). Je öfter du aufteilst (je größer \(n\)), desto näher kommt der Faktor an eine feste Zahl heran – genau das ist \(e\) (etwa 2.71828…).
2. Ableitungs-Eigenschaft: Die Steigung von \(f(x)=e^{x}\) ist überall gleich der Funktionswert: \(f'(x)=e^{x}\). (Vorschau auf Modul 4, hier ohne Rechnen.)

1. Schätze \(e\) näherungsweise über \((1+1/n)^n\) für \(n=10,100,1000\). Welche Tendenz erkennst du?
2. Warum ist \(e\) für kontinuierliches Wachstum praktisch? Formuliere einen Merksatz.
Hinweis: Was bedeutet „kontinuierliches Wachstum“ – und warum Basis \(e\)? Diskrete Modelle wachsen in Schritten (Faktor \(a\) pro Zeiteinheit). Kontinuierlich heißt: Die Größe ändert sich zu jedem Zeitpunkt, ohne Sprünge, mit einer konstanten momentanen Rate. Lässt man die Zins-/Wachstumsintervalle immer kleiner werden, landet man im Grenzfall bei der Basis \(e\) und der Schreibweise \(y=y_0\,e^{k t}\). Darum ist \(e\) die „natürliche“ Basis für stetige Prozesse.

1. Bestimme \(C\) und \(k\) aus \(f(x)=5\,e^{0{.}3x}\).
2. Eine Population folgt \(f(t)=C\,e^{k t}\) mit \(f(0)=120\) und \(f(10)=162\). Bestimme \(k\).
3. Welcher Faktor \(a\) entspricht \(k=\ln(1{.}07)\)? Begründe.

• \(\ln(e^x)=x\) für alle \(x\);   \(e^{\ln(x)}=x\) für alle \(x>0\).
• Log-Gesetze: \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^r)=r\,\ln a\), \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\).
• Domäne/Wertebereich: \(\ln(x)\) nur für \(x>0\) definiert; Werte in \(\mathbb{R}\).

• Stufenmodell \(y=y_0 a^t\):
  Verdopplungszeit \(n_2=\dfrac{\ln 2}{\ln a}\);   Halbwertszeit \(n_{1/2}=\dfrac{\ln(1/2)}{\ln a}=-\dfrac{\ln 2}{\ln a}\).
• Kontinuierlich \(y=y_0 e^{k t}\):
  Verdopplungszeit \(T_2=\dfrac{\ln 2}{k}\) (nur \(k>0\));   Halbwertszeit \(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{|k|}\) (bei Zerfall).

Beispiel: \(a=1{.}08\) → \(n_2=\ln 2/\ln 1{.}08\approx 8{.}99\) Schritte.
\(k=0{.}12\) → \(T_{1/2}=\ln 2/0{.}12\approx 5{.}78\) Zeiteinheiten.

1. Löse \(e^{2x-1}=7\) nach \(x\) auf.
2. Berechne die Verdopplungszeit für \(a=1{.}05\) und für \(k=0{.}05\). Vergleiche kurz.
3. Zeige mit Log-Gesetzen: \(\ln\!\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr)=\ln 9-\ln 2\) und \(\ln(\sqrt{e})=\tfrac{1}{2}\).

• Definitionsbereich: \(\mathbb{R}\); Wertebereich: \((0,\infty)\).
• Achsenschnittpunkte: y-Achse bei \(f(0)=1\); keine Nullstellen.
• Asymptote: \(y=0\) (x-Achse) für \(x\to-\infty\).
• Monoton steigend; Krümmung: immer linksgekrümmt (\(f''(x)=e^x>0\)).
• Tangente in (0,1): Steigung \(1\) (Vorschau auf Modul 4).

• Definitionsbereich: \((0,\infty)\); Wertebereich: \(\mathbb{R}\).
• Nullstelle bei \(x=1\) (denn \(\ln(1)=0\)); kein y-Achsen-Schnitt.
• Vertikale Asymptote: \(x=0\) (von rechts kommend, \(\ln(x)\to-\infty\)).
• Monoton steigend, aber flacht für große \(x\) ab.

1. Nenne Nullstellen, Achsenschnittpunkte und Asymptoten von \(e^x\) und \(\ln(x)\).
2. Skizziere grob beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem und markiere die Punkte \((0,1)\) und \((1,0)\).
3. Wie verändern sich Graphen von \(e^{kx+b}\)? Beschreibe die Rolle von \(k\) und \(b\).

1. Begründe verbal, warum \(e^{x}\) keine Nullstelle besitzt.
2. Erläutere, warum \(e^{kx}\) für negatives \(k\) eine fallende Funktion ist.