Ableiten einer Exponentialfunktion

Worum geht’s?
Die Ableitung \(f'(x)\) ist die momentane Steigung (Zuwachs pro „sehr kleinem Schritt“ in \(x\)). Wir benutzen in diesem Abschnitt nur die Schreibweise mit dem Strich \(f'(x)\) und verzichten bewusst auf andere Kurzschreibweisen.

Beispiele mit Begründung (keine Produkte, keine verschachtelten Exponenten):

1) \(f(x)=e^{x}\)
\(f'(x)=e^{x}\)   (e-Regel)

2) \(g(x)=5e^{x}-7\)
\(g'(x)=5\,e^{x}-0=5e^{x}\)   (Faktorregel, Konstantenregel, Summenregel)

3) \(h(x)=e^{2x}\)
\(h'(x)=2e^{2x}\)   (Faustregel: Exponent \(2x\) ist linear)

4) \(p(x)=e^{-x}\)
\(p'(x)=-\,e^{-x}\)   (Faustregel: Exponent \(-x\) ist linear)

5) \(q(x)=2e^{x-4}\)
\(q'(x)=2\cdot e^{x-4}=2e^{x-4}\)   (Faktorregel + Faustregel: \(x-4\) ist linear)

6) \(r(x)=3e^{0{.}5x}+e^{x}\)
\(r'(x)=3\cdot 0{.}5\,e^{0{.}5x}+e^{x}=1{.}5\,e^{0{.}5x}+e^{x}\)   (Faktor-, Summenregel + Faustregel)

7) \(s(x)=e^{x}+e^{3x}-4\)
\(s'(x)=e^{x}+3e^{3x}-0=e^{x}+3e^{3x}\)   (Summen-, Konstanten- & e-/Faustregel)

8) \(t(x)=2^{x}\)
\(t'(x)=\ln(2)\cdot 2^{x}\)   (Allgemeine Basis-Regel)

Ableiten mit Produkt- & Kettenregel von Exponentialfunktionen

Einleitung:

Oft sind Exponentialfunktionen verknüpft mit weiteren Termen. Dann sind diese nur unter Anwendung besonderer Regeln abzuleiten. In den Übungsaufgaben des vorherigen Abschnitts (hier) siehst du keine Verkettungen.
Ein Beispiel für eine verkettete e-Funktion wäre:
\[ f(x)=(2x+1)\,e^x \quad\text{oder}\quad g(x)=e^{3x^2} \]

Hieran soll nun im Folgenden die Ableitungsregeln Produktregel und Kettenregel erklärt werden.

Produktregel: \((u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'\)
Beispiel: \(f(x)=(2x+1)\,e^x\). Setze \(u=2x+1\Rightarrow u'=2\) und \(v=e^x\Rightarrow v'=e^x\). Dann \[ f'(x)=2\cdot e^x + (2x+1)\cdot e^x = e^x(2x+3). \]

Kettenregel: Für \(h(x)=f(g(x))\) gilt \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\).
Umgangssprachlich: „äußere Ableitung an der inneren mal innere Ableitung“.
Beispiel: \(g(x)=e^{3x^2}\). Außen \(f(u)=e^u\Rightarrow f'(u)=e^u\), innen \(u=3x^2\Rightarrow u'=6x\). \[ g'(x)=e^{3x^2}\cdot 6x=6x\,e^{3x^2}. \]

\(\,h(x)=(x^2+2)(e^{x}+1)\)
\(u=x^2+2,\;u'=2x,\;v=e^x+1,\;v'=e^x\)
\[ h'(x)=2x\,(e^x+1) + (x^2+2)\,e^x. \]

\(\,k(x)=\sin(e^{2x})\)
Außen: \(f(u)=\sin(u),\;f'(u)=\cos(u)\); Innen: \(u=e^{2x},\;u'=2e^{2x}\)
\[ k'(x)= \cos(e^{2x})\cdot 2e^{2x}. \]

Exponentialgleichungen lösen

Einleitung:
Gleichungen der Form \[ a\cdot b^x = c \] löst du, indem du:

1. durch \(a\) teilst: \[ b^x = \frac{c}{a} \]
2. Logarithmus zur Basis \(b\) anwenden: \[ x = \log_{b}\!\biggl(\frac{c}{a}\biggr) \quad\bigl(\text{alternativ }x = \tfrac{\lg(c/a)}{\lg(b)}\bigr). \]

Hinweis: Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis \(e\). Man schreibt \[ \ln\!\biggl(\frac{c}{a}\biggr) = \log_{e}\!\biggl(\frac{c}{a}\biggr). \]
Bei Ausdrücken wie \(e^{2x}+3=10\) formst du zuerst auf reine \(e^{\dots}\)-Form um und wendest dann \(\ln\) nur auf positive Argumente an.
Verkettete E-Funktionen musst du mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen. Ausdrücke der Form \(e^{x}\) sind stets ungleich Null. Können diese also ausgeklammert werden oder werden sie mit einem anderen Term multipliziert, muss der Teil in der Klammer bzw. der andere Faktor Null ergeben.

Beispiele 2a–2f (123mathe):

\[ \begin{aligned} \textbf{2a)}\quad &2\cdot e^{3x} - 6\cdot e^x = 0 \quad\Big|\; +6\,e^x \\[0.8em] &2\,e^{3x} = 6\,e^x \quad\Big|\; :2 \\[0.8em] &e^{3x} = 3\,e^x \quad\Big|\; \ln \\[0.8em] &3x = \ln(3) + x \quad\Big|\; -x \\[0.8em] &2x = \ln(3) \quad\Big|\; :2 \\[0.8em] &\boxed{x = \tfrac12\,\ln(3)} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \textbf{2b)}\quad &\frac{e^x}{2} - e^{x+1} = 0 \quad\Big|\; +e^{x+1} \\[0.8em] &\tfrac{e^x}{2} = e^{x+1} \quad\Big|\; \cdot2 \\[0.8em] &e^x = 2\,e^{x+1} \quad\Big|\; \ln \\[0.8em] &x = \ln(2) + x + 1 \quad\Big|\; -x \\[0.8em] &0 = \ln(2) + 1 \;\Rightarrow\; \text{Widerspruch (keine Lösung)} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \textbf{2c)}\quad &(x-2)\,e^{2x} - e^{2x} = 0 \\[0.8em] &e^{2x}\bigl[(x-2)-1\bigr] = 0 \\[0.8em] &x - 3 = 0 \\[0.8em] &\boxed{x = 3} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \textbf{2d)}\quad &-2x^2 \;\cdot\; e^{-x+2} = 0 \\[0.8em] &-2x^2 = 0 \quad(\text{da }e^{-x+2}\neq0)\\[0.8em] &\boxed{x = 0} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \textbf{2e)}\quad &x\,e^x - 3x = 0 \\[0.8em] &x\,(e^x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0 \\[0.8em] &e^x - 3 = 0 \quad\Big|\; +3 \\[0.8em] &e^x = 3 \quad\Big|\; \ln \\[0.8em] &\boxed{x_2 = \ln(3)} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \textbf{2f)}\quad &(3 + 2x)\,e^{x-1} = 0 \\[0.8em] &3 + 2x = 0 \quad(\text{da }e^{x-1}\neq0)\\[0.8em] &2x = -3 \quad\Big|\; :2 \\[0.8em] &\boxed{x = -\tfrac32} \end{aligned} \]