Einheit 3: Scheitelpunktform und allgemeine Form
Lehrkräfte-Hinweis zum Einsatz
Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.
MathematikKlasse 10Quadratische Funktionen
- Einsatz: als Lernpfad, Übungsmodul, Wiederholung oder vorbereitete Unterrichtssequenz.
- Anpassung: Abschnitte, Aufgaben und Lösungen können direkt im Quellcode ergänzt oder gekürzt werden.
- Assets: Bildplatzhalter bewusst durch eigenes Material, GeoGebra-Screenshots oder lizenzrechtlich passende Abbildungen ersetzen.
Differenzierte Hilfen
Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.
Hilfe A – Einstieg
Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Einheit 3: Scheitelpunktform und allgemeine Form geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.
Hilfe B – Vorgehen
Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.
Hilfe C – Vertiefung
Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.
Schritt-für-Schritt-Vorgehen / Erwartungshorizont
Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.
- Aufgabe lesen und gesuchte Größe/Fragestellung notieren.
- Geeignete Darstellungsform, Formel oder Verfahren auswählen.
- Rechnung mit nachvollziehbaren Zwischenschritten durchführen.
- Ergebnis prüfen: Vorzeichen, Einheit, Plausibilität und Bezug zur Aufgabe.
- Antwortsatz oder kurze Deutung formulieren.
Lernziele
- Ich kann die Scheitelpunktform und die allgemeine Form unterscheiden.
- Ich kann aus der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt ablesen.
- Ich kann durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form umformen.
- Ich kann mit quadratischer Ergänzung zurück zur Scheitelpunktform gehen.
Warum brauchen wir zwei Formen?
Eine quadratische Funktion kann unterschiedlich aussehen, obwohl sie denselben Graphen beschreibt. Die Scheitelpunktform ist besonders praktisch, wenn man den Scheitelpunkt direkt sehen möchte. Die allgemeine Form ist praktisch, wenn man Terme zusammenfassen oder den y-Achsenabschnitt erkennen möchte.
Hier würde passend sein: Materialausschnitt zum Vergleich von Scheitelpunktform und Normalform.
Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e3_entdecken_forms.png.
Die beiden Formen
| Form | Schreibweise | Was erkennt man gut? |
|---|---|---|
| Scheitelpunktform | \(f(x)=a(x-d)^2+e\) | Scheitelpunkt \(S(d|e)\), Öffnung und Streckung durch \(a\) |
| Allgemeine Form | \(f(x)=ax^2+bx+c\) | y-Achsenabschnitt \(c\), sortierte Termstruktur |
Hier würde passend sein: Materialausschnitt zur Scheitelpunktform und allgemeinen Form.
Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e3_scheitelpunkt_normalform.png.
Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form
Forme um.
- \(f(x)=(x-2)^2+3\)
- \(g(x)=(x+4)^2-1\)
- \(h(x)=2(x-1)^2+5\)
- \(k(x)=-0{,}5(x+2)^2+4\)
Lösung anzeigen
1. \((x-2)^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7\)
2. \((x+4)^2-1=x^2+8x+16-1=x^2+8x+15\)
3. \(2(x-1)^2+5=2(x^2-2x+1)+5=2x^2-4x+7\)
4. \(-0{,}5(x+2)^2+4=-0{,}5(x^2+4x+4)+4=-0{,}5x^2-2x+2\)
Einprägsam: Quadratische Ergänzung
Bei \(x^2+px+q\) nimmst du die Hälfte von \(p\) und quadrierst sie. Damit baust du künstlich eine binomische Formel.
Beispiel: \(x^2+6x+5\). Hälfte von \(6\) ist \(3\), \(3^2=9\).
\(x^2+6x+5=x^2+6x+9-9+5=(x+3)^2-4\)
Übung 2: Zurück zur Scheitelpunktform
Forme um und gib den Scheitelpunkt an.
- \(f(x)=x^2+4x+1\)
- \(g(x)=x^2-6x+2\)
- \(h(x)=x^2+10x+20\)
- \(k(x)=x^2-2x-3\)
Lösung anzeigen
1. \(x^2+4x+1=x^2+4x+4-4+1=(x+2)^2-3\), also \(S(-2|-3)\).
2. \(x^2-6x+2=x^2-6x+9-9+2=(x-3)^2-7\), also \(S(3|-7)\).
3. \(x^2+10x+20=x^2+10x+25-25+20=(x+5)^2-5\), also \(S(-5|-5)\).
4. \(x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4\), also \(S(1|-4)\).
Vertiefung
Gegeben ist \(f(x)=-2(x-3)^2+8\). Gib Scheitelpunkt, Beschreibung und allgemeine Form an.
Lösung anzeigen
Scheitelpunkt: \(S(3|8)\). Nach unten geöffnet, gestreckt, 3 nach rechts und 8 nach oben verschoben.
\(-2(x-3)^2+8=-2(x^2-6x+9)+8=-2x^2+12x-18+8=-2x^2+12x-10\)