Selbstlern-Modul Bonus: Trigonometrische Funktionen

Allgemeine Erläuterung zu Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus übersetzen Winkel in Streckenverhältnisse.

1. Rechtwinkliges Dreieck:
Betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse der Länge 1. Die Seite gegenüber dem Winkel α ist die Gegenkathete, die anliegende Seite die Ankathete. Dann gilt:

• \(\sin(\alpha)\) = Gegenkathete ÷ Hypotenuse
• \(\cos(\alpha)\) = Ankathete ÷ Hypotenuse

2. Einheitskreis:
Im Einheitskreis (Radius = 1) entspricht Winkel α dem Punkt P(x,y) am Kreisrand. Dort gilt:

• \(x = \cos(\alpha)\)
• \(y = \sin(\alpha)\)

Bogenmaß

Das Bogenmaß misst Winkel in Radiant. Ein voller Kreis umfasst 360° bzw. 2π Radiant.

Umrechnung von Grad in Radiant:
\(x^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = x\)

Parameter a, b, c, d in \(f(x) = a\cdot\sin\bigl[b\cdot(x - c)\bigr] + d\)

Vier Parameter beeinflussen den Sinusgraphen:

1. Amplitude (a): Maximale Auslenkung von der Mittellinie.
2. Frequenz/Breite (b): Bestimmt, wie schnell die Periode verläuft; Periodenlänge = \(2\pi/|b|\).
3. Phasenverschiebung (c): Verschiebt den Graphen um c Einheiten entlang der x-Achse.
4. Vertikalverschiebung (d): Hebt den Graphen um d Einheiten nach oben oder unten.

Nullstellen, Extrem- & Wendepunkte

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen \(f(x)=0\), also der Graph die x-Achse schneidet.
Extrempunkte sind lokale Hoch- oder Tiefpunkte, an denen die erste Ableitung \(f'(x)=0\) und der Graph von steigend zu fallend (Hochpunkt) oder umgekehrt wechselt.
Wendepunkte sind Stellen, an denen sich die Krümmung ändert, also \(f''(x)=0\) mit Vorzeichenwechsel.

Lösen trigonometrischer Gleichungen

Zur Lösung von \(\sin(x)=k\) und \(\cos(x)=k\) nutzt man die Umkehrfunktionen \(\sin^{-1}\) bzw. \(\cos^{-1}\) plus die Periodizität \(2\pi n\):

1. \(\sin(x)=k\) → \(x = \sin^{-1}(k) + 2\pi n\) oder \(x = \pi - \sin^{-1}(k) + 2\pi n\)
2. \(\cos(x)=k\) → \(x = \cos^{-1}(k) + 2\pi n\) oder \(x = -\cos^{-1}(k) + 2\pi n\)

Grafisches Differenzieren

Beim grafischen Differenzieren zeichnest du im Graphen \(y=\sin(x)\) Sekanten zwischen zwei Punkten und beobachtest, wie deren Grenzwert gegen die Tangente an einem Punkt konvergiert.

Kettenregel

Zum Ableiten verketteter Funktionen \(h(x) = f(g(x))\) gehst du so vor:

1. Identifiziere die Außenfunktion \(f(u)\) und die Innenfunktion \(u = g(x)\).
2. Leite die Außenfunktion ab: \(f'(u)\).
3. Leite die Innenfunktion ab: \(g'(x)\).
4. Multipliziere: \(h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).