Selbstlern-Modul 1: Funktionsklassen, Achsenschnittpunkte & Kurvendiskussion

Wiederholung: Funktionsklassen

Einleitung: Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen Funktionswert \(f(x)\) zu. Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist die höchste Potenz von \(x\).

1. Linear: \(f(x)=m\,x+b\) (Gerade)
2. Quadratisch: \(f(x)=a x^2 + b x + c\) (Parabel)
3. Ganzrational (Grad \(\ge 3\)): \(f(x)=a_n x^n+\dots+a_0\)

Weitere Hilfe:

Grundlagen: Nullstellen

Idee: Nullstellen sind die x-Werte, bei denen \(f(x)=0\). Das sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.

1. Linear: \(m x + b = 0 \Rightarrow x = -\tfrac{b}{m}\).
2. Quadratisch: pq-Formel \(x_{1,2}=-\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{(\tfrac{p}{2})^2-q}\) oder ABC-Formel \(x_{1,2}=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
3. Höhergradig: Faktorisieren/Substitution/technische Hilfsmittel.

Quellen & Hilfen:

Grundlagen: y-Achsenschnitt

Definition: \(f(0)\) ist der y-Achsenschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse).

1. Setze \(x=0\) in die Funktionsgleichung ein.
2. Das Ergebnis ist der y-Achsenschnitt.

Hilfe: Studyflix – Schnittpunkte

Grundlagen: Definitionsbereich

Was ist das? Der Definitionsbereich \(D_f\) enthält alle x-Werte, für die \(f(x)\) definiert ist. Bei Polynomen gilt meist \(D_f = \mathbb{R}\); bei Brüchen darf der Nenner nicht 0 werden.

1. Prüfe Nenner: \(g(x) \ne 0\).
2. Prüfe Wurzeln: Radikand \(\ge 0\) (bei geradem Index).
3. Prüfe Logarithmen: Argument \(>0\).

Quellen & Hilfen:

Grundlagen: Wertebereich

Was ist das? Der Wertebereich \(W_f\) enthält alle Funktionswerte. Bei ganzrationalen Funktionen nutzt du Extrema und Grenzwerte, um \(W_f\) zu bestimmen.

1. Bestimme Extremwerte (min/max) über Ableitungen.
2. Betrachte \(x \to \pm\infty\) (Leitkoeffizient & Grad).
3. Setze ggf. Randwerte/Asymptotenbedingungen ein.

Quellen & Hilfen:

Grundlagen: Symmetrie

Tests: Achsensymmetrie zur y-Achse, wenn \(f(-x)=f(x)\) (gerade Funktion). Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn \(f(-x)=-f(x)\) (ungerade Funktion). Bei Polynomen: nur gerade Potenzen → gerade; nur ungerade Potenzen & kein Absolutglied → ungerade.

Quellen & Hilfen: Studyflix – Symmetrie

Grundlagen: Verhalten im Unendlichen

Leitidee: Bei Polynomen dominiert für \(|x|\to\infty\) der höchste Potenzterm. Ist dessen Grad gerade, gehen beide Enden in die gleiche Richtung; ist er ungerade, in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen des Leitkoeffizienten entscheidet über \(+\infty\) vs. \(-\infty\).

Quellen & Hilfen: Studyflix – Grenzwert

Grundlagen: Extrema

Vorgehen: Kritische Stellen über \(f'(x)=0\) (und Stellen, an denen \(f'\) nicht existiert). Art mit 2. Ableitung prüfen: \(f''(x_0)>0\Rightarrow\) Tiefpunkt, \(f''(x_0)<0\Rightarrow\) Hochpunkt, \(f''(x_0)=0\Rightarrow\) weiterer Test nötig.

Quellen & Hilfen: Studyflix – Extrempunkte

Grundlagen: Monotonie

Interpretation von \(f'(x)\): \(f'(x)>0\) → steigend, \(f'(x)<0\) → fallend, \(f'(x)=0\) → stationär. Bestimme die Nullstellen von \(f'\) und untersuche die Vorzeichen in den Intervallen.

Quellen & Hilfen: Studyflix – Monotonie

Grundlagen: Krümmung

Interpretation von \(f''(x)\): \(f''(x)>0\) → linksgekrümmt, \(f''(x)<0\) → rechtsgekrümmt. Krümmungsverhalten hilft bei der Skizze und bei der Bestimmung von Wendepunkten.

Quellen & Hilfen: Studyflix – Krümmungsverhalten

Grundlagen: Wendepunkte

Kriterien: Notwendig: \(f''(x_0)=0\). Hinreichend: Vorzeichenwechsel von \(f''\) um \(x_0\) oder \(f'''(x_0)\ne 0\). Koordinaten: \((x_0, f(x_0))\).

Quellen & Hilfen: Studyflix – Wendepunkt

Grundlagen: Skizze

Zeichnen mit Hilfe der besonderen Eigenschaften: Trage Nullstellen, y-Achsenschnitt, Extrema und Wendepunkte ein; nutze Monotonie/ Krümmung; beachte das Verhalten im Unendlichen. Verbinde alles mit einem sauberen Kurvenverlauf.

Zeichnen mit Hilfe einer Wertetabelle: Nutze deinen Taschenrechner und lege eine Wertetabelle in einem geeigneten Intervall an. Ein geeignetes Intervall stellt den Verlauf der Kurve dar. Das heißt alle vorher errechneten Punkte und Eigenschaften (Krümmung, Monotonie, Grenzverhalten) sollten erkennbar sein. Nutze eine Schrittweite, die zu "zeichenbaren" Ergebnissen führt. Werden die y-Werte zu groß, verringere die Schrittweite. Meist empfiehlt sich die Schrittweite N=1 oder N=0,5.

Grundlagen: Kurvendiskussion (10 Schritte – Überblick)

1. Definitionsbereich
2. Achsenschnitte (Nullstellen, y-Achsenschnitt)
3. Symmetrie
4. Verhalten im Unendlichen
5. Extrema
6. Monotonie
7. Krümmung
8. Wendepunkte
9. Wertebereich
10. Skizze

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