Selbstlern-Modul 2: Kurvendiskussion, Funktionsschnitte & Winkel

Übungen zur Kurvendiskussion

1. Definitionsbereich bestimmen.
2. Achsenschnitte: Nullstellen (\(f(x)=0\)) und y-Achsenschnitt (\(f(0)\)).
3. Symmetrie prüfen (\(f(-x)=\pm f(x)\) und Potenzkriterien).
4. Verhalten im Unendlichen (\(\lim_{x\to\pm\infty}\)).
5. Extrempunkte: \(f'(x)=0\), Art über \(f''(x)\) prüfen.
6. Monotonie: Vorzeichen von \(f'(x)\) untersuchen.
7. Krümmung: \(f''(x)>0\) links-/\(f''(x)<0\) rechtsgekrümmt.
8. Wendepunkte: \(f''(x)=0\) und Vorzeichenwechsel.
9. Wertebereich bestimmen.
10. Graph skizzieren unter Beachtung aller Punkte.

Funktionsschnitte berechnen

Einleitung: Wenn du wissen möchtest, an welchen Stellen sich zwei Funktionen schneiden, setzt du deren Gleichungen gleich: \(f(x)=g(x)\). Indem du daraus die Gleichung \(f(x)-g(x)=0\) formulierst und entsprechend umstellst, kannst du sie durch Nullstellen-Lösungsverfahren lösen. Jede gefundene Lösung \(x\) entspricht einem Schnittpunkt. Anschließend setzt du den jeweiligen \(x\)-Wert in eine der Funktionen ein, um den zugehörigen \(y\)-Wert zu bestimmen. Damit erhältst du die vollständigen Koordinaten des Schnittpunkts, die du dann in deinem Koordinatensystem markieren kannst.

• Gleichsetzen: \(f(x)=g(x)\).
• Umformen zu \(f(x)-g(x)=0\).
• Nullstellenbestimmungsverfahren (Faktorisieren, pq, Mitternachtsformel, TR, ...).
• Lösungen \(x_1\), \(x_2\)… finden und in \(f\) oder \(g\) einsetzen für \(y\).

Steigungswinkel

Einleitung: Der Steigungswinkel \(\alpha\) beschreibt, wie geneigt eine Tangente/Gerade an einem Punkt \(x_0\) eines Funktionsgraphen ist. Zuerst berechnest du die Ableitung \(f'(x)\), um die lokale Steigung \(m=f'(x_0)\) zu ermitteln. Dieser Wert zeigt an, ob der Graph an dieser Stelle steigt oder fällt und wie stark. Anschließend wandelst du den Steigungswert \(m\) mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens in einen Winkel um: \(\alpha=\tan^{-1}(m)\). Das Ergebnis ist ein Winkel in Grad, der anschaulich darstellt, wie steil die Tangente zur x-Achse ist.

1. Ableitung \(f'(x)\) bilden.
2. Steigung \(m = f'(x_0)\) berechnen.
3. Winkel \(\alpha = \tan^{-1}(m)\) berechnen.

Schnittwinkel

Einleitung: Der Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen zwei Funktionsgraphen an ihrem Schnittpunkt gibt an, wie sich ihre Tangenten oder die Geraden an diesem Punkt überschneiden. Zuerst findest du den Schnittpunkt \((x_0,y_0)\) durch Lösen von \(f(x)=g(x)\). Dann berechnest du die Steigungen \(m_1=f'(x_0)\) und \(m_2=g'(x_0)\). Mit der Formel \(\alpha=\left|\tan^{-1}\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)\right|\) erhältst du den Winkel zwischen den beiden Tangenten. Der Betrag sorgt dafür, dass der Winkel stets positiv ist.

1. Schnittpunkt \((x_0,y_0)\) durch \(f(x)=g(x)\) finden.
2. \(m_1=f'(x_0)\), \(m_2=g'(x_0)\) berechnen.
3. \(\alpha = \left|\tan^{-1}\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)\right|\).