Einheit 5: Nullstellen quadratischer Funktionen

Lehrkräfte-Hinweis zum Einsatz

Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.

MathematikKlasse 10Quadratische Funktionen

Differenzierte Hilfen

Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.

Hilfe A – Einstieg

Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Einheit 5: Nullstellen quadratischer Funktionen geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.

Hilfe B – Vorgehen

Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.

Hilfe C – Vertiefung

Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.

Schritt-für-Schritt-Vorgehen / Erwartungshorizont

Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.

  1. Aufgabe lesen und gesuchte Größe/Fragestellung notieren.
  2. Geeignete Darstellungsform, Formel oder Verfahren auswählen.
  3. Rechnung mit nachvollziehbaren Zwischenschritten durchführen.
  4. Ergebnis prüfen: Vorzeichen, Einheit, Plausibilität und Bezug zur Aufgabe.
  5. Antwortsatz oder kurze Deutung formulieren.

Lernziele

Was bedeutet Nullstelle?

Eine Nullstelle ist ein \(x\)-Wert, bei dem die Funktion den Wert \(0\) hat. Im Graphen liegt dieser Punkt genau auf der \(x\)-Achse.

\(f(x)=0\)

Bei quadratischen Funktionen können drei Fälle auftreten: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal, berührt sie einmal oder trifft sie gar nicht.

🖼️
[Platzhalter für ein Bild aus deinem Material/Software (z. B. GeoGebra)/Buch]

Hier würde passend sein: Materialausschnitt zur Anzahl der Nullstellen und Diskriminante.

Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e5_nullstellen_diskriminante_summary.png.

Von der Funktion zur Gleichung

Wenn du Nullstellen suchst, machst du aus der Funktion eine quadratische Gleichung.

Beispiel: \(f(x)=x^2+2x-8\)

Für die Nullstellen gilt:

\(x^2+2x-8=0\)

Damit bist du wieder bei dem Thema aus dem vorherigen Kapitel: quadratische Gleichungen lösen.

Die \(pq\)-Formel

Wenn die Gleichung in der Form \(x^2+px+q=0\) steht, kannst du die \(pq\)-Formel verwenden:

\(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\)

Das Zeichen \(\pm\) bedeutet: einmal mit Plus und einmal mit Minus rechnen.

Übung 1: Nullstellen berechnen

Bestimme die Nullstellen.

  1. \(f(x)=x^2+5x+6\)
  2. \(g(x)=x^2-4x-12\)
  3. \(h(x)=x^2+2x+1\)
  4. \(k(x)=x^2+2x+5\)

Lösung anzeigen

1. \(x^2+5x+6=0\): \(p=5,q=6\). \(x_{1/2}=-2{,}5\pm\sqrt{6{,}25-6}=-2{,}5\pm0{,}5\). Also \(x_1=-2,x_2=-3\).

2. \(x^2-4x-12=0\): \(p=-4,q=-12\). \(x_{1/2}=2\pm\sqrt{4+12}=2\pm4\). Also \(x_1=6,x_2=-2\).

3. \(x^2+2x+1=0\): \(p=2,q=1\). \(x_{1/2}=-1\pm\sqrt{1-1}=-1\). Es gibt eine Nullstelle.

4. \(x^2+2x+5=0\): \(p=2,q=5\). Unter der Wurzel steht \(1-5=-4\). Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Nullstellen.

Anzahl der Nullstellen erkennen

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:

\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)

Übung 2: Nur die Anzahl bestimmen

  1. \(f(x)=x^2-6x+9\)
  2. \(g(x)=x^2-6x+5\)
  3. \(h(x)=x^2-6x+12\)

Lösung anzeigen

1. \((-3)^2-9=0\): eine Nullstelle.

2. \((-3)^2-5=4\): zwei Nullstellen.

3. \((-3)^2-12=-3\): keine reellen Nullstellen.

Vertiefung: Geschickte Verfahren

Bestimme die Nullstellen möglichst ohne \(pq\)-Formel.

  1. \((x-3)^2\)
  2. \((x-2)(x+5)\)
  3. \(x^2-16\)
  4. \(2x^2-18\)

Lösung anzeigen

1. \((x-3)^2=0\), also \(x=3\).

2. Satz vom Nullprodukt: \(x-2=0\) oder \(x+5=0\), also \(x_1=2,x_2=-5\).

3. \(x^2=16\), also \(x=\pm4\).

4. \(2x^2=18\), also \(x^2=9\), also \(x=\pm3\).