Gleichungssysteme – Modul 1: LGS mit zwei und drei Variablen

Was ist ein LGS?

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist eine Sammlung aus linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Die gesuchten Größen heißen Variablen (z. B. x, y, z).

Am einfachsten lässt sich das Prinzip eines LGS an einem alltäglichen Beispiel erklären:

• Carlo geht einkaufen. Er kauft 5 Äpfel und 3 Bananen. An der Kasse zahlt er 2,10€.
• Anita geht ebenfalls im selben Laden einkaufen. Dabei kauft sie auch die gleichen Äpfel und Bananen. Sie kauft 1 Apfel und 6 Bananen und zahlt 2,30€

Mathematisch kann man die zwei Einkaufgänge nun zusammenfassen:

1. Carlo: 5 A + 3 B = 2,10
2. Anita: 1 A + 6 B = 2,30

Da beide die gleichen Äpfel und Bananen kaufen, steckt hinter den Buchstaben A und B jeweils der Preis für einen Apfel bzw. eine Banane.

In diesem Beispiel kostet ein Apfel A=0,50€ und eine Banane B = 0,30€. Rechne nach!

Ganz allgemein kann man also sagen, dass Lineare Gleichungssysteme sinnvoll sind, wenn verschieden Vorgänge mit gleichen Ausgangssituationen kombiniert werden. Das kann z.B. beim Einkaufen (zwei unterschiedliche Leute gehen einkaufen, zahlen aber für das gleiche Produkt den selben Preis). Die einzelnen Gleichungen sind linear, da sich ihre Situationen proportional verhalten (Mehr Äpfel/Bananen = höherer Endpreis).

1. Linear bedeutet: Jede Gleichung besteht aus Summe oder Differenz von Termen der Form Zahl · Variable. Es gibt keine Quadrate wie x² und keine Produkte wie xy.
2. Eine Lösung ist ein Wertepaar/-tripel (z. B. (x,y) oder (x,y,z)), das alle Gleichungen mit einer wahren Aussage löst.
3. Die Lösungsmenge kann leer (0 Lösungen), eindeutig (1 Lösung) oder unendlich groß sein.

Aufbau eines LGS

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) hat in der Regel so viele Gleichungen wie Variablen. Hat es mehr Gleichungen als Variablen, nennt man es überbestimmt. Hat es weniger Gleichungen als Variablen, nennt man es unterbestimmt

Ein regeluäres (weder über- noch unterbestimmtes) LGS mit zwei Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen:

a1·x + b1·y = c1
a2·x + b2·y = c2

Die Buchstaben a, b und c stellen Parameter dar. Im Gegensatz zu Variablen nehmen sie einen für jede Gleichung festen Wert an.

Ein regluäres LGS mit drei Variablen x, y und z besteht aus drei linearen Gleichungen:

a1·x + b1·y + c1·z = d1
a2·x + b2·y + c2·z = d2
a3·x + b3·y + c3·z = d3

Auch hier stellen die Buchstaben a, b, c und d Parameter dar. Im Gegensatz zu Variablen nehmen sie einen für jede Gleichung festen Wert an.

Wie du sehen kannst, stehen im LGS die gleichen Unbekannten exakt untereinander. Also in der "ersten Spalte" steht hier beispielsweise x, danach y, ...

Du kennst Lineare Funktionen in der Form y=mx+b, zum Beispiel y=2x+4. Wenn man die Unbekannten nun auf die selbe Seite bringt und die "nackte Zahl" auf der anderen seite des Gleichzeichens stehen lässt, erhält man: 2x-y=-4. Dies nennt man die Normalform. In dieser Form kann man sie sauber in ein LGS schreiben.

Lösbarkeit von LGS

Hier siehst du typische 2×2‑LGS. Wir lösen sie noch nicht – das kommt in Modul 2/3. Du übst erst, Form und mögliche Lösbarkeitsformen (0/1/∞) zu erkennen.

x − y = 2
2x − 2y = 4

Besonderheit: Fällt dir auf, dass die linken Seiten proportional sind?

3x + 6y = 9
3x + 6y = 12

Besonderheit: Fällt dir auf, dass die linken Seite gleich sind, aber andere Konstanten rechts stehen?

2x + 3y = 7
−x + 4y = 5

Besonderheit: Hier sind weder beide Seiten gleich, noch proportional.

Unendlich viele / keine Lösungen bei LGS mit 2 Variablen

Hier siehst du typische 2×2‑LGS. Auf dem ersten Blick lässt sich hie schon erkennen, dass fast alle Gleichungsysteme für alle Zahlen x und y nicht eindeutig lösbar sind.

Warum?

1. Schritt: Finde heraus für welche Zahlen x und y eine der beiden Gleichungen zu einer Lösung führt.
2. Schritt: Setze die Zahlen in die zweite Gleichung ein.
3. Schritt: Prüfe, ob die Gleichungen sich unterscheiden und keine Vielfache voneinander sind.

Mögliche Lösungen:

1. Widerspruch: Unlösbar. Man schreibt: 𝕃={}=∅
2. Lösung in beiden Gleichungen passt, aber die Gleichungen sind Vielfache voneinander: Unendlich viele Lösung, das LGS ist unterbestimmt.𝕃={(x,y)|x∈ℝ ∧ y=...} für y=... muss man nun die Abhängkeit y von x angeben.
3. Es gibt mehr Gleichungen als Unbekannte und Lösung in den Gleichungen passt, aber die Gleichungen sind teilweise Vielfache voneinander: Das LGS ist überbestimmt. Man muss testen, ob es mehrere Vielfache oder Widersprüche gibt. Vielfache Gleichungen können gestrichen werden. Sobald ein Widerspruch existiert, gilt das LGS als unlösbar. Kommen am Ende genau so viele Gleichungen wie Variablen heraus, ist das LGS lösbar. 𝕃={(x,y,...)} mit x,y,... als konkrete Zahlenwerte
4. Lösung in beiden Gleichungen passt: x und y sind eindeutig.𝕃={(x,y,...)} mit x,y,... als konkrete Zahlenwerte

LGS mit 3 Variablen

Ein 3×3‑LGS hat drei Gleichungen mit den Variablen x, y und z. Ein 3x3 - LGS funktioniert eigentlich genauso wie ein 2x2 LGS. Es hat nur eine Gleichung und eine Variable mehr.

x + y + z = 6
2x − y + 3z = 14
−x + 4y − z = −2

Es kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen geben. Wir lösen erst in den nächsten Modulen – hier geht es um das Erkennen und Aufschreiben in Normalform.