Funktionen und Lineare Funktionen

Begleitmaterial

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Was sind Funktionen?

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus einer Zielmenge Z zuordnet. Funktionen können auf verschiedene Weise dargestellt werden: als Funktionsgraph, durch eine Zuordnungsvorschrift oder in Form einer Wertetabelle.

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt darstellt. Beide Parameter, m und n, sind reelle Zahlen. Die Steigung m gibt an, wie steil die Gerade ist, und der y-Achsenabschnitt n zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Bei einer linearen Funktion werden x-Werte der Definitionsmenge zu y-Werte der Zielmenge (Wertemenge) zugeordnet. Die Vorschrift, welcher x-Wert zu welchem y-Wert gehört, gibt die Zuordnungsvorschrift vor (z.B.: y=2x+4).

Die Steigung m einer Funktion gibt das Änderungsverhältnis der x-Werte im Vergleich zu den y-Werten an. Beispiel: Für m=2 bei y=2x gilt, dass wenn x=4 ist, dann ist y=8 (Faktor m=2). Der Steigungsfaktor m gibt also an, wie steil die lineare Funktion ist. Ist m>0, dann steigt die Funktion; ist m <0, dann fällt die Funktion. Der Steigungsfaktor kann mit dem Differenzenquotienten errechnet werden.

Der y-Achsenabschnitt n, manchmal auch als b bezeichnet, der Funktion gibt an, an welcher Stelle der y-Achse die lineare Funktion die y-Achse schneidet. Beispiel: für n=2,5 gilt, dass P(0|2,5) der y-Achsenabschnittspunkt ist. Dabei ist x=0, weil die y-Achse auf x=0 steht.

Der Graph zu einer linearen Funktion heißt Gerade.

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient Δy/Δx beschreibt die Steigung einer linearen Funktion zwischen zwei Punkten. Er wird berechnet, indem man die Differenz der Funktionswerte (y-Werte) durch die Differenz der zugehörigen x-Werte teilt. Diese Steigung ist konstant für lineare Funktionen. Häufig wird der Differenzenquotient auch an der Gerade grafisch als Steigungsdreieck dargestellt.

Nullstellenberechnung und y-Achsenabschnitts-Berechnung

Nullstellen werden immer mit dem gleichen Ansatz berechnet: f(x)=0. Eine Funktion wird gleich Null gesetzt, anschließend wird nach x aufgelöst.

y-Achsenabschnitt werden auch immer mit dem gleichen Ansatz berechnet: f(0) berechnen, also x=0 einsetzen. Eine Funktion wird gleich Null gesetzt, anschließend wird nach x aufgelöst.

Aufgaben:

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1. Berechne den Differenzenquotienten für die folgenden Punktpaare:
   • a) (2|4) und (5|10)
   • b) (1|3) und (4|9)
   • c) (0|0) und (2|8)
   • d) (3|7) und (6|13)
2. Bestimme den y-Achsenabschnitt und den x-Achsenabschnitt der folgenden Funktionen:
   • a) f(x) = 2x + 3
   • b) f(x) = -x + 5
   • c) f(x) = 4x
   • d) f(x) = 0.5x - 2
3. Zeichne die folgenden linearen Funktionen, die durch den Ursprung gehen:
   • a) f(x) = x
   • b) f(x) = 2x
   • c) f(x) = -x
   • d) f(x) = 0.5x
4. Stelle eine lineare Funktion durch zwei Punkte auf:
   • a) P(4|2) und Q(7|2)
   • b) P(3|4) und Q(3|7)
   • c) P(0|0) und Q(3|1)
   • d) P(-3|4) und Q(½|⅔)
5. Buch S.20 Nr. 7 (Bigalke, Köhler, Mathematik E, 2017, 1. Auflage): Der Golfspieler, dessen Ball an der Position S(30|20) liegt, visiert das Loch bei L(230|70) an mit einem flachen Schlag an. Kommt er am Maulwurfshügel M(160|50) und am Baum B(190|60) vorbei?