Funktionen und Lineare Funktionen

Schnitte von Linearen Funktionen

Die "gängigen" Schnitte von Linearen Funktionen kennst du bereits: Der Schnittpunkt einer linearen Funktion mit der y-Achse wird berechnet, indem der x-Wert auf 0 gesetzt wird. Der Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) wird berechnet, indem man die Funktion gleich 0 setzt und nach x auflöst.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x + 3. Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen, setzen wir f(x) = 0:
0 = 2x + 3
2x = -3
x = -3/2.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse liegt also bei (-3/2|0). Für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzen wir x = 0:
f(0) = 2(0) + 3 = 3.
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei (0|3).

Lineare Funktionen können nicht nur die Achsen schneiden, sondern auch andere Funktionen. So kann man auch die Schnittpunkte zwischen Funktionen berechnen. Am Schnittpunkt zweier Funktionen stimmt sowohl der x- als auch der y-Wert beider Funktionen überein. Das heißt, sie sind an der Stelle exakt gleich. Daher ist der Ansatz, dass man die Funktionen gleichsetzt und nach x auflöst.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x)=2x+4 und die Funktion g(x)=-½x-4.
f(x)=g(x) (Ansatz)
2x+4=-½x-4
2,5x+4=-4
2,5x=-8
x=3,2 --> Einsetzen, um y-Wert herauszufinden. Da der y-Wert bei beiden Funktionen gleich ist, ist es egal in welche Funktion man den Wert einsetzt.
f(3,2)=2*3,2+4 = 10,4
Der Schnittpunkt: S(3,2|10,4)

Aufgaben

A1: Bestimme die Nullstelle und den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = -2x + 6 (Lern-Kompass, Aufgabe 2, Seite 2).

A2: Berechne die Nullstelle der Funktion f(x) = 0,5x - 1 (Lern-Kompass, Aufgabe 3, Seite 2).

A3: Finde die Nullstelle der Funktion f(x) = 3x - 9 (Lern-Kompass, Aufgabe 5, Seite 2).

Schnittwinkel von Linearen Funktionen mit der x-Achse

Der Schnittwinkel einer linearen Funktion mit der x-Achse, auch Steigungswinkel genannt, beschreibt den Winkel zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse. Dieser Winkel lässt sich mithilfe der Steigung m der Funktion berechnen: tan(α) = m.

Beispiel: Für die Funktion f(x) = 2x + 3 berechnen wir den Schnittwinkel:
tan(α) = 2
α = arctan(2) ≈ 63,43°.

Hinweis: Als "arctan(α)" wird der Arkustangens bezeichnet. Dies ist die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion. Oft wird der Arkustangens auch mit tan^-1(α) bezeichnet.

Aufgaben

A1: Berechne den Schnittwinkel mit der x-Achse für die Funktion f(x) = 3x + 5 (Lern-Kompass, Aufgabe 4, Seite 2).

A2: Bestimme den Schnittwinkel für die Funktion f(x) = -2x + 3 (Lern-Kompass, Aufgabe 6, Seite 3).

Schnittwinkel zwischen Linearen Funktionen

Der Schnittwinkel zwischen zwei linearen Funktionen wird berechnet, indem der Winkel mit Hilfe der beiden Steigungen berechnet wird: tan(α) = |(m₁ - m₂) / (1 + m₁ * m₂)|. Dabei ist m₁ die Steigung der ersten Funktion und m₂ die der Zweiten.

Beispiel: Berechne den Schnittwinkel zwischen den Funktionen f₁(x) = 2x + 3 und f₂(x) = -x + 5:
tan(α) = |(2 - (-1)) / (1 + 2*(-1))| = |3 / -1| = 3.
α = arctan(3) ≈ 71,57°.

Hinweis: Die geraden Striche | ... | um eine Zahl oder eine Formel heißen "Betrag". Dies bewirkt, dass das Vorzeichen der zwischen den Betragsstrichen stehenden Zahl ignoriert wird. |-17| = 17.

Aufgaben

A1: Berechne den Schnittwinkel zwischen den Funktionen f(x) = 2x + 4 und g(x) = -3x + 1 (Lern-Kompass, Aufgabe 7, Seite 3).

A2: Erläutere, warum der 90°-Winkel ein Problem für die Berechnung darstellt.

Parameter in Linearen Funktionen

Parameter in linearen Funktionen sind feste Werte, die die Form der Funktion bestimmen, wie z.B. die Steigung m und der y-Achsenabschnitt n. Sie unterscheiden sich von Variablen, die für veränderliche Größen stehen (z.B. x und y). Beim Lösen von Aufgaben mit Parametern bleibt der Parameter fest, während die Variable verändert wird. Häufig werden für Parameter auch die Buchstaben a,b,c,... oder α, β γ Gegeben sei die Funktion f(x)=αx+2. Berechne α so, dass , ... verwendet.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x)=αx+2. Berechne α so, dass N₁(-4|0) eine Nullstelle von f ist. α ist eine reelle Zahl.

Ansatz: Nullstelle N₁ einsetzen und nach α auflösen.
α*(-4)+2 = 0
α*(-4)=-2
α=½
f(x)=½x+2

Aufgaben

A1: t sei eine reelle Zahl. Zeichen für t =-2, t=2, die Funktion f_t(x)=tx-1+3t (Quelle).

A2: Berechne die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenachsen: g_t(x)=-3x+4/t. t ist eine reelle Zahl(Quelle).

A3 (schwer): Ermittle die Lösungsmenge der Gleichung: 3α+2x=x-3. α ist eine reelle Zahl. (Lern-Kompass, Aufgabe 7, Seite 3).