Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.
MathematikKlasse 10Quadratische Funktionen
Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.
Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Einheit 1: Einstieg, Darstellungsformen und Normalparabel geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.
Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.
Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.
Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.
Bis jetzt hast du quadratische Gleichungen gelöst. Dort stand meistens eine Gleichung im Mittelpunkt, zum Beispiel:
\(x^2+2x-15=0\)
Bei einer Gleichung suchst du einzelne Zahlen, die die Gleichung wahr machen. Bei einer Funktion passiert etwas anderes: Du setzt viele verschiedene Zahlen ein und schaust, welche Ergebnisse entstehen. Aus diesen Wertepaaren kann man einen Graphen zeichnen.
Die einfachste quadratische Funktion lautet:
\(f(x)=x^2\)
Das bedeutet: Jede eingesetzte Zahl wird quadriert. Aus \(2\) wird \(4\), aus \(-2\) wird auch \(4\). Genau dadurch entsteht die typische symmetrische Form einer Parabel.
Viele Bögen, Flugbahnen oder Brückenformen erinnern an Parabeln. Nicht jede gekrümmte Form ist automatisch eine Parabel, aber solche Beispiele helfen uns, die neue Graphenform von Geraden zu unterscheiden.
Hier würde passend sein: Materialausschnitt mit Bögen als Einstieg zu Parabeln.
Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e1_bogen_einstieg.png.
Arbeitsauftrag: Beschreibe zunächst nur die Form: Was ist anders als bei einer Gerade? Wo ist der höchste oder tiefste Punkt? Kann man jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnen?
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, in deren Term ein \(x^2\)-Term vorkommt. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Die einfachste quadratische Funktion ist:
\(f(x)=x^2\)
Ihr Graph heißt Normalparabel. Der wichtigste Punkt der Parabel ist der Scheitelpunkt. Bei der Normalparabel liegt er bei \(S(0|0)\).
Hier würde passend sein: Materialausschnitt zur Definition der quadratischen Funktion und zur Normalparabel.
Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e1_normalparabel_verstehen.png.
Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden. Wichtig ist: Alle Darstellungen beschreiben denselben Zusammenhang.
| Darstellungsform | Beispiel zu \(f(x)=x^2\) | Bedeutung |
|---|---|---|
| Funktionsterm | \(f(x)=x^2\) | Rechenvorschrift: Setze \(x\) ein und quadriere. |
| Wertetabelle | \((-2|4),(-1|1),(0|0),(1|1),(2|4)\) | Mehrere eingesetzte Werte mit den passenden Ergebnissen. |
| Graph | Parabel | Alle Punkte werden ins Koordinatensystem eingetragen. |
| Wortform | Jede Zahl wird quadriert. | Beschreibung ohne Formel. |
Erstelle eine Wertetabelle zu \(f(x)=x^2\) für \(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\). Zeichne anschließend den Graphen.
Zeichnung: Skizze in GeoGebra machen.
Wir setzen jeden Wert einzeln in \(f(x)=x^2\) ein. Achte besonders auf negative Zahlen: \((-3)^2\) bedeutet \((-3)\cdot(-3)\), also \(+9\).
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
Die Punkte links und rechts der \(y\)-Achse haben gleiche \(y\)-Werte. Deshalb ist die Normalparabel achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Die Normalparabel kann schmaler, breiter oder nach unten gespiegelt werden. Das entscheidet der Faktor \(a\) in:
\(f(x)=a\cdot x^2\)
Hier würde passend sein: Materialausschnitt zum Parameter a bei gestreckten und gestauchten Parabeln.
Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e1_streckung_stauchung_parameter_a.png.
Beschreibe jeweils Öffnung und Form.
\(2x^2\): \(a=2\), nach oben geöffnet und gestreckt.
\(0{,}5x^2\): \(a=0{,}5\), nach oben geöffnet und gestaucht.
\(-x^2\): \(a=-1\), nach unten geöffnet, aber nicht gestreckt oder gestaucht.
\(-3x^2\): \(a=-3\), nach unten geöffnet und gestreckt.
\(-0{,}25x^2\): \(a=-0{,}25\), nach unten geöffnet und gestaucht.
Gegeben ist \(f(x)=a x^2\). Der Punkt \(P(2|12)\) liegt auf dem Graphen. Bestimme \(a\), gib die Funktionsgleichung an und beschreibe die Parabel.
Der Punkt \(P(2|12)\) bedeutet: Wenn \(x=2\) eingesetzt wird, muss \(f(x)=12\) herauskommen.
\(12=a\cdot2^2\)
\(12=4a\)
\(a=3\)
Also lautet die Funktion \(f(x)=3x^2\). Sie ist nach oben geöffnet und gestreckt.