Einheit 3: Scheitelpunktform und allgemeine Form

Lehrkräfte-Hinweis zum Einsatz

Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.

MathematikKlasse 10Quadratische Funktionen

Differenzierte Hilfen

Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.

Hilfe A – Einstieg

Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Einheit 3: Scheitelpunktform und allgemeine Form geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.

Hilfe B – Vorgehen

Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.

Hilfe C – Vertiefung

Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.

Schritt-für-Schritt-Vorgehen / Erwartungshorizont

Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.

  1. Aufgabe lesen und gesuchte Größe/Fragestellung notieren.
  2. Geeignete Darstellungsform, Formel oder Verfahren auswählen.
  3. Rechnung mit nachvollziehbaren Zwischenschritten durchführen.
  4. Ergebnis prüfen: Vorzeichen, Einheit, Plausibilität und Bezug zur Aufgabe.
  5. Antwortsatz oder kurze Deutung formulieren.

Lernziele

Warum brauchen wir zwei Formen?

Eine quadratische Funktion kann unterschiedlich aussehen, obwohl sie denselben Graphen beschreibt. Die Scheitelpunktform ist besonders praktisch, wenn man den Scheitelpunkt direkt sehen möchte. Die allgemeine Form ist praktisch, wenn man Terme zusammenfassen oder den y-Achsenabschnitt erkennen möchte.

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[Platzhalter für ein Bild aus deinem Material/Software (z. B. GeoGebra)/Buch]

Hier würde passend sein: Materialausschnitt zum Vergleich von Scheitelpunktform und Normalform.

Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e3_entdecken_forms.png.

Die beiden Formen

FormSchreibweiseWas erkennt man gut?
Scheitelpunktform\(f(x)=a(x-d)^2+e\)Scheitelpunkt \(S(d|e)\), Öffnung und Streckung durch \(a\)
Allgemeine Form\(f(x)=ax^2+bx+c\)y-Achsenabschnitt \(c\), sortierte Termstruktur
🖼️
[Platzhalter für ein Bild aus deinem Material/Software (z. B. GeoGebra)/Buch]

Hier würde passend sein: Materialausschnitt zur Scheitelpunktform und allgemeinen Form.

Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e3_scheitelpunkt_normalform.png.

Übung 1: Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Forme um.

  1. \(f(x)=(x-2)^2+3\)
  2. \(g(x)=(x+4)^2-1\)
  3. \(h(x)=2(x-1)^2+5\)
  4. \(k(x)=-0{,}5(x+2)^2+4\)

Lösung anzeigen

1. \((x-2)^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7\)

2. \((x+4)^2-1=x^2+8x+16-1=x^2+8x+15\)

3. \(2(x-1)^2+5=2(x^2-2x+1)+5=2x^2-4x+7\)

4. \(-0{,}5(x+2)^2+4=-0{,}5(x^2+4x+4)+4=-0{,}5x^2-2x+2\)

Einprägsam: Quadratische Ergänzung

Bei \(x^2+px+q\) nimmst du die Hälfte von \(p\) und quadrierst sie. Damit baust du künstlich eine binomische Formel.

Beispiel: \(x^2+6x+5\). Hälfte von \(6\) ist \(3\), \(3^2=9\).

\(x^2+6x+5=x^2+6x+9-9+5=(x+3)^2-4\)

Übung 2: Zurück zur Scheitelpunktform

Forme um und gib den Scheitelpunkt an.

  1. \(f(x)=x^2+4x+1\)
  2. \(g(x)=x^2-6x+2\)
  3. \(h(x)=x^2+10x+20\)
  4. \(k(x)=x^2-2x-3\)

Lösung anzeigen

1. \(x^2+4x+1=x^2+4x+4-4+1=(x+2)^2-3\), also \(S(-2|-3)\).

2. \(x^2-6x+2=x^2-6x+9-9+2=(x-3)^2-7\), also \(S(3|-7)\).

3. \(x^2+10x+20=x^2+10x+25-25+20=(x+5)^2-5\), also \(S(-5|-5)\).

4. \(x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4\), also \(S(1|-4)\).

Vertiefung

Gegeben ist \(f(x)=-2(x-3)^2+8\). Gib Scheitelpunkt, Beschreibung und allgemeine Form an.

Lösung anzeigen

Scheitelpunkt: \(S(3|8)\). Nach unten geöffnet, gestreckt, 3 nach rechts und 8 nach oben verschoben.

\(-2(x-3)^2+8=-2(x^2-6x+9)+8=-2x^2+12x-18+8=-2x^2+12x-10\)