1. Potenzfunktion - Allgemeine Definition

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f(x) = a * xⁿ, wobei a und n reelle Zahlen sind und n der Exponent ist.

Beispiele:

f(x) = 2x³
g(x) = -x²
h(x) = 5x

Merksatz:

Bei Potenzfunktionen ist der Exponent entscheidend für das Verhalten der Funktion.

Übungsaufgaben:

A1: Bestimme den Wert von f(2) für die Funktion f(x) = 3x⁴.

A2: Zeichne den Graphen der Funktion g(x) = 2x^3, h(x)=-2x^3. Wie unterscheiden sich die Graphen?

A3: Zeichne den Graphen der Funktion g(x) = 0,5x^4, h(x)=0,5x^4. Wie unterscheiden sich die Graphen?

2. Symmetrie von Potenzfunktionen

Potenzfunktionen können unterschiedliche Symmetrien aufweisen:

achsensymmetrische Funktion mit ausschließlich geraden Exponentenen: f(x) = f(-x)
punktsymmetrische Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponentenen: f(-x) = -f(x)
Weder gerade noch ungerade: Keine der obigen Bedingungen erfüllt

Die Symmetrie hängt vom Exponenten n ab:

Gerade Exponenten führen zu geraden Funktionen.
Ungerade Exponenten führen zu ungeraden Funktionen.

Merksatz:

Gerade Exponenten erzeugen symmetrische Graphen zur y-Achse, ungerade zur Ursprung.

Übungsaufgaben:

A4: Überprüfe die Symmetrie der Funktion h(x) = x⁵.

A5: Bestimme, ob die Funktion k(x) = -x⁴ symmetrisch ist.

3. Symmetrieuntersuchung rechnerisch

Um die Symmetrie einer Funktion zu überprüfen, berechnen wir f(-x) und vergleichen es mit f(x) und -f(x):

Ist f(-x) = f(x), ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ist f(-x) = -f(x), ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung
Erfüllt die Funktion keine dieser Bedingungen, hat sie keine Symmetrie.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = x³.
f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x) → punktsymmetrische Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten.

Merksatz:

Setze -x in f ein und finde heraus, wie sich die Vorzeichen verändern. Anschließend bestimme -f(x), indem du alle Vorzeichen umkehrst. Vergleiche nun f(-x), -f(x) und f(x) miteinander.

Übungsaufgaben:

A6: Überprüfe die Symmetrie der Funktion f(x) = 4x².

A7: Bestimme die Symmetrie der Funktion g(x) = -3x³.

4. Ganzrationale Funktionen - Definition (Polynom)

Ganzrationale Funktionen, auch Polynomfunktionen genannt, sind Funktionen der Form:

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀

Dabei sind a₀, a₁, ..., aₙ reelle Koeffizienten und n eine nicht-negative ganze Zahl.

Beispiele:

f(x) = 2x³ - x + 5
g(x) = x² - 4x + 4
h(x) = 3x + 2

Merksatz:

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten. Der Grad dieses Polynoms ist gleich dem größten Exponenten.

Übungsaufgaben:

A8: Notiere alle Potenzfunktionen, die in der ganzrationalen Funktion f(x) = 5x⁴ - 3x² + 2 vorkommen.

A9: Bestimme den Grad des Polynoms g(x) = -x⁵ + 4x³ - x + 7. Erläutere, wie man den Grad herausfinden kann.

5. Graph einer ganzrationalen Funktion

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist eine Kurve, deren Form von der höchsten Potenz (Grad) und den Koeffizienten abhängt.

Eigenschaften:

Grad 1: Gerade (lineare Funktion), maximal 1 Nullstelle
Grad 2: Parabel, maximal 2 Nullstellen
Grad 3: Kubische Kurve, maximal 3 Nullstellen
Grad 4: Quartische Kurve, maximal 4 Nullstellen
usw.

Merksatz:

Der Grad des Polynoms bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.

Übungsaufgaben:

A10: Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = x³ - 2x.

A11: Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Funktion g(x) = 2x⁴ - x² + 3.

A12: Welchen Grad besitzt die Funktion f(x)=(x-1)(x-2)(x+1)(x+2)? Skizziere als Hilfe!

A13: Welchen Grad besitzt die Funktion f(x)=x(x^2-4)(x-2)? Skizziere als Hilfe!

6. Besondere Punkte (Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Wendepunkt)

Besondere Punkte auf dem Graphen ganzrationaler Funktionen sind:

Hochpunkt: Ein lokales Maximum, wo die Funktion von steigend zu fallend wechselt.
Tiefpunkt: Ein lokales Minimum, wo die Funktion von fallend zu steigend wechselt.
Sattelpunkt: Ein Wendepunkt, an dem die Krümmung der Funktion wechselt, aber kein Extrempunkt vorliegt.
Wendepunkt: Ein Punkt, an dem sich die Krümmung der Funktion ändert.

Beispiel: Bei der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x (ZEICHNEN!) gibt es einen Tiefpunkt bei x=0, einen Hochpunkt bei x=2 und einen Wendepunkt bei x=1.

Merksatz:

Besondere Punkte helfen dabei, den Verlauf und die Form des Graphen einer Funktion zu verstehen.

Übungsaufgaben:

A14: Bestimme die besonderen Punkte der Funktion f(x) = x^3 + 4x + 4.

A15: Bestimme die besonderen Punkte der Funktion f(x) = x^4 + 4x^2 - 4.

7. Symmetrieverhalten rechnerisch untersuchen

Wie bei Potenzfunktionen können wir auch bei ganzrationalen Funktionen die Symmetrie durch rechnerische Untersuchung bestimmen:

Berechne f(-x) und vergleiche mit f(x) und -f(x).
Ist f(-x) = f(x), ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ist f(-x) = -f(x), ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Erfüllt keine der Bedingungen, besitzt die Funktion keine Symmetrie.

Beispiel: Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - x.
f(-x) = (-x)³ - (-x) = -x³ + x = -f(x) → Punktsymmetrische Funktion.

Übungsaufgaben:

A15: Untersuche die Symmetrie der Funktion f(x) = 2x⁵ - x.

A16: Bestimme die Symmetrie der Funktion g(x) = x² + x.

Aufgaben zu Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen

A1: Bestimme den Wert von f(2) für die Funktion f(x) = 3x^6.

A2: Zeichne den Graphen der Funktion g(x) = -2x^4.

A3: Überprüfe die Symmetrie der Funktion h(x) = x⁵.

A4: Bestimme, ob die Funktion k(x) = -x⁴ symmetrisch ist.

A5: Überprüfe die Symmetrie der Funktion f(x) = 4x² - x.

A6: Bestimme die Symmetrie der Funktion g(x) = -3x³.

A7: Bestimme alle besonderen Punkte der Funktion f(x) = 5x⁴ - 3x² + 2 mit Hilfe einer Zeichnung.

A8: Bestimme den Grad des Polynoms g(x) = -x⁵ + 4x³ - x + 7.

A9: Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = x³ - 2x.

A10: Bestimme die maximale Anzahl der Nullstellen der Funktion g(x) = 2x⁴ - x² + 3.

A11: Bestimme die Symmetrie der Funktion f(x) = x² + 4x + 4.

A12: Überprüfe, ob die Funktion g(x) = 3x⁴ - 6x² + 2 symmetrisch ist.

A13: Untersuche die Symmetrie der Funktion f(x) = 2x⁵ - x.

A14: Bestimme die Symmetrie der Funktion g(x) = x² + x.