Funktionen und Lineare Funktionen
Lehrkräfte-Hinweis zum Einsatz
Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.
MathematikE-PhaseFunktionen und lineare Funktionen
- Einsatz: als Lernpfad, Übungsmodul, Wiederholung oder vorbereitete Unterrichtssequenz.
- Anpassung: Abschnitte, Aufgaben und Lösungen können direkt im Quellcode ergänzt oder gekürzt werden.
- Assets: Bildplatzhalter bewusst durch eigenes Material, GeoGebra-Screenshots oder lizenzrechtlich passende Abbildungen ersetzen.
Differenzierte Hilfen
Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.
Hilfe A – Einstieg
Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Funktionen und Lineare Funktionen geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.
Hilfe B – Vorgehen
Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.
Hilfe C – Vertiefung
Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.
Schritt-für-Schritt-Vorgehen / Erwartungshorizont
Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.
- Aufgabe lesen und gesuchte Größe/Fragestellung notieren.
- Geeignete Darstellungsform, Formel oder Verfahren auswählen.
- Rechnung mit nachvollziehbaren Zwischenschritten durchführen.
- Ergebnis prüfen: Vorzeichen, Einheit, Plausibilität und Bezug zur Aufgabe.
- Antwortsatz oder kurze Deutung formulieren.
Hier würde passend sein: Logo.
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Hier würde passend sein: Header.
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Hier würde passend sein: Infobox.
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Begleitmaterial
Download des Begleitmaterials: Download
Hier würde passend sein: Infobox.
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Was sind Funktionen?
Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x aus einer Definitionsmenge D genau ein Element y aus einer Zielmenge Z zuordnet. Funktionen können auf verschiedene Weise dargestellt werden: als Funktionsgraph, durch eine Zuordnungsvorschrift oder in Form einer Wertetabelle.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Lineare Funktionen
Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt darstellt. Beide Parameter, m und n, sind reelle Zahlen. Die Steigung m gibt an, wie steil die Gerade ist, und der y-Achsenabschnitt n zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Bei einer linearen Funktion werden x-Werte der Definitionsmenge zu y-Werte der Zielmenge (Wertemenge) zugeordnet. Die Vorschrift, welcher x-Wert zu welchem y-Wert gehört, gibt die Zuordnungsvorschrift vor (z.B.: y=2x+4).
Die Steigung m einer Funktion gibt das Änderungsverhältnis der x-Werte im Vergleich zu den y-Werten an. Beispiel: Für m=2 bei y=2x gilt, dass wenn x=4 ist, dann ist y=8 (Faktor m=2). Der Steigungsfaktor m gibt also an, wie steil die lineare Funktion ist. Ist m>0, dann steigt die Funktion; ist m <0, dann fällt die Funktion. Der Steigungsfaktor kann mit dem Differenzenquotienten errechnet werden.
Der y-Achsenabschnitt n, manchmal auch als b bezeichnet, der Funktion gibt an, an welcher Stelle der y-Achse die lineare Funktion die y-Achse schneidet. Beispiel: für n=2,5 gilt, dass P(0|2,5) der y-Achsenabschnittspunkt ist. Dabei ist x=0, weil die y-Achse auf x=0 steht.
Der Graph zu einer linearen Funktion heißt Gerade.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Differenzenquotient
Der Differenzenquotient Δy/Δx beschreibt die Steigung einer linearen Funktion zwischen zwei Punkten. Er wird berechnet, indem man die Differenz der Funktionswerte (y-Werte) durch die Differenz der zugehörigen x-Werte teilt. Diese Steigung ist konstant für lineare Funktionen. Häufig wird der Differenzenquotient auch an der Gerade grafisch als Steigungsdreieck dargestellt.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Nullstellenberechnung und y-Achsenabschnitts-Berechnung
Nullstellen werden immer mit dem gleichen Ansatz berechnet: f(x)=0. Eine Funktion wird gleich Null gesetzt, anschließend wird nach x aufgelöst.
y-Achsenabschnitt werden auch immer mit dem gleichen Ansatz berechnet: f(0) berechnen, also x=0 einsetzen. Eine Funktion wird gleich Null gesetzt, anschließend wird nach x aufgelöst.
Hier würde passend sein: Infobox.
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Aufgaben:
Du hast Begleitmaterial zu der E-Learning-Einheit erhalten. Bitte füll dies parallel dazu aus.
Mach dir ne' Notiz: Schreibe dir alle Merksätze auf das Begleitmaterial an die entsprechende Stelle.
- Berechne den Differenzenquotienten für die folgenden Punktpaare:
- a) (2|4) und (5|10)
- b) (1|3) und (4|9)
- c) (0|0) und (2|8)
- d) (3|7) und (6|13)
- Bestimme den y-Achsenabschnitt und den x-Achsenabschnitt der folgenden Funktionen:
- a) f(x) = 2x + 3
- b) f(x) = -x + 5
- c) f(x) = 4x
- d) f(x) = 0.5x - 2
- Zeichne die folgenden linearen Funktionen, die durch den Ursprung gehen:
- a) f(x) = x
- b) f(x) = 2x
- c) f(x) = -x
- d) f(x) = 0.5x
- Stelle eine lineare Funktion durch zwei Punkte auf:
- a) P(4|2) und Q(7|2)
- b) P(3|4) und Q(3|7)
- c) P(0|0) und Q(3|1)
- d) P(-3|4) und Q(½|⅔)
- Buch S.20 Nr. 7 (Bigalke, Köhler, Mathematik E, 2017, 1. Auflage): Der Golfspieler, dessen Ball an der Position S(30|20) liegt, visiert das Loch bei L(230|70) an mit einem flachen Schlag an. Kommt er am Maulwurfshügel M(160|50) und am Baum B(190|60) vorbei?