Einheit 5: Nullstellen quadratischer Funktionen
Lehrkräfte-Hinweis zum Einsatz
Dieses Modul ist als Lehrkräfte-Ansicht vorbereitet. Die Inhalte können in Moodle als Text- und Medienfeld eingefügt und anschließend an Lerngruppe, Buchseite, Aufgabenstellung und vorhandene Materialien angepasst werden.
MathematikKlasse 10Quadratische Funktionen
- Einsatz: als Lernpfad, Übungsmodul, Wiederholung oder vorbereitete Unterrichtssequenz.
- Anpassung: Abschnitte, Aufgaben und Lösungen können direkt im Quellcode ergänzt oder gekürzt werden.
- Assets: Bildplatzhalter bewusst durch eigenes Material, GeoGebra-Screenshots oder lizenzrechtlich passende Abbildungen ersetzen.
Differenzierte Hilfen
Die Hilfen sind bewusst sichtbar als feste Sections angelegt, damit sie in Moodle ohne JavaScript, Buttons oder Aufklappfunktionen funktionieren.
Hilfe A – Einstieg
Formuliere zuerst in eigenen Worten, worum es in Einheit 5: Nullstellen quadratischer Funktionen geht. Markiere Schlüsselbegriffe, bekannte Größen, Operatoren und unklare Stellen.
Hilfe B – Vorgehen
Rechenweg strukturieren: Gegebenes markieren, passende Formel/Verfahren auswählen, Zwischenschritte sauber notieren und Ergebnis im Kontext prüfen.
Hilfe C – Vertiefung
Vertiefung: alternative Lösungswege vergleichen, typische Fehler markieren und begründen, warum ein Verfahren hier besonders geeignet ist.
Schritt-für-Schritt-Vorgehen / Erwartungshorizont
Diese Vorlage kann als Erwartungshorizont, Musterlösung oder Hilfekarte genutzt werden.
- Aufgabe lesen und gesuchte Größe/Fragestellung notieren.
- Geeignete Darstellungsform, Formel oder Verfahren auswählen.
- Rechnung mit nachvollziehbaren Zwischenschritten durchführen.
- Ergebnis prüfen: Vorzeichen, Einheit, Plausibilität und Bezug zur Aufgabe.
- Antwortsatz oder kurze Deutung formulieren.
Lernziele
- Ich kann Nullstellen als Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse deuten.
- Ich kann aus \(f(x)\) die Gleichung \(f(x)=0\) machen.
- Ich kann Nullstellen mit der \(pq\)-Formel berechnen.
- Ich kann erklären, warum es zwei, eine oder keine Nullstelle geben kann.
Was bedeutet Nullstelle?
Eine Nullstelle ist ein \(x\)-Wert, bei dem die Funktion den Wert \(0\) hat. Im Graphen liegt dieser Punkt genau auf der \(x\)-Achse.
\(f(x)=0\)
Bei quadratischen Funktionen können drei Fälle auftreten: Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse zweimal, berührt sie einmal oder trifft sie gar nicht.
Hier würde passend sein: Materialausschnitt zur Anzahl der Nullstellen und Diskriminante.
Bitte selbst einfügen und Lizenzrechte beachten. Ursprünglicher interner Arbeitsverweis: assets/e5_nullstellen_diskriminante_summary.png.
Von der Funktion zur Gleichung
Wenn du Nullstellen suchst, machst du aus der Funktion eine quadratische Gleichung.
Beispiel: \(f(x)=x^2+2x-8\)
Für die Nullstellen gilt:
\(x^2+2x-8=0\)
Damit bist du wieder bei dem Thema aus dem vorherigen Kapitel: quadratische Gleichungen lösen.
Die \(pq\)-Formel
Wenn die Gleichung in der Form \(x^2+px+q=0\) steht, kannst du die \(pq\)-Formel verwenden:
\(x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\)
Das Zeichen \(\pm\) bedeutet: einmal mit Plus und einmal mit Minus rechnen.
Übung 1: Nullstellen berechnen
Bestimme die Nullstellen.
- \(f(x)=x^2+5x+6\)
- \(g(x)=x^2-4x-12\)
- \(h(x)=x^2+2x+1\)
- \(k(x)=x^2+2x+5\)
Lösung anzeigen
1. \(x^2+5x+6=0\): \(p=5,q=6\). \(x_{1/2}=-2{,}5\pm\sqrt{6{,}25-6}=-2{,}5\pm0{,}5\). Also \(x_1=-2,x_2=-3\).
2. \(x^2-4x-12=0\): \(p=-4,q=-12\). \(x_{1/2}=2\pm\sqrt{4+12}=2\pm4\). Also \(x_1=6,x_2=-2\).
3. \(x^2+2x+1=0\): \(p=2,q=1\). \(x_{1/2}=-1\pm\sqrt{1-1}=-1\). Es gibt eine Nullstelle.
4. \(x^2+2x+5=0\): \(p=2,q=5\). Unter der Wurzel steht \(1-5=-4\). Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Nullstellen.
Anzahl der Nullstellen erkennen
Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Nullstellen:
\(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\)
- größer als 0: zwei Nullstellen
- gleich 0: eine Nullstelle
- kleiner als 0: keine reelle Nullstelle
Übung 2: Nur die Anzahl bestimmen
- \(f(x)=x^2-6x+9\)
- \(g(x)=x^2-6x+5\)
- \(h(x)=x^2-6x+12\)
Lösung anzeigen
1. \((-3)^2-9=0\): eine Nullstelle.
2. \((-3)^2-5=4\): zwei Nullstellen.
3. \((-3)^2-12=-3\): keine reellen Nullstellen.
Vertiefung: Geschickte Verfahren
Bestimme die Nullstellen möglichst ohne \(pq\)-Formel.
- \((x-3)^2\)
- \((x-2)(x+5)\)
- \(x^2-16\)
- \(2x^2-18\)
Lösung anzeigen
1. \((x-3)^2=0\), also \(x=3\).
2. Satz vom Nullprodukt: \(x-2=0\) oder \(x+5=0\), also \(x_1=2,x_2=-5\).
3. \(x^2=16\), also \(x=\pm4\).
4. \(2x^2=18\), also \(x^2=9\), also \(x=\pm3\).